Question

【題目】已知

(I)判斷f(x)的奇偶性并證明

(Ⅱ)若a>1,判斷f(x)的單調性并用單調性定義證明;

(Ⅲ)若,求實數x的取值范圍

Answer 1

【答案】(I)見解析；(II) 見解析；(III)

【解析】試題分析：(1)求解即可.

(2)運用單調性證明則f(x1)－f(x2)＝loga－loga＝loga.判斷符號即可.
(3)根據單調性轉化－1＜x－3≤求解.

試題解析：(I)由得，∴函數f(x)的定義域為(－1,1) 關于原點對稱.

f(x)在(－1,1)上為奇函數，證明如下：

，

∴f(x)為(－1,1)上的奇函數．

(II) 若，f(x)在(－1,1)上單調遞增，證明如下：

設－1＜x1＜x2＜1，

則f(x1)－f(x2)＝loga－loga＝loga.

又－1＜x1＜x2＜1，

∴(1＋x1)(1－x2)－(1－x1)(1＋x2)＝2(x1－x2)＜0，

即0＜(1＋x1)(1－x2)＜(1－x1)(1＋x2)，

∴0＜＜1，∴loga＜0，

∴f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在(－1,1)上單調遞增．

(III)∵f(x)為(－1,1)上的奇函數，

∴f(x－3) ≤－f(－)＝f()．

若，f(x)在(－1,1)上單調遞增，

∴－1＜x－3≤，得2＜x≤.

若，f(x)在(－1,1)上單調遞減，

∴≤x－3＜1，得≤x＜4.

綜上可知，當時，實數x的取值范圍為；

當時，實數x的取值范圍為

點晴:本題屬于對函數單調性應用的考察，若函數在區間上單調遞增，則時，有，事實上，若,則，這與矛盾，類似地，若在區間上單調遞減，則當時有；據此可以解不等式，由函數值的大小，根據單調性就可以得自變量的大小關系.本題中的易錯點是容易忽視定義域(－1,1).