Question

【題目】如圖，在三棱柱中，側面，均為正方形，,點是棱的中點.請建立適當的坐標系，求解下列問題：

（Ⅰ）求證：異面直線與互相垂直；

（Ⅱ）求二面角（鈍角）的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由各面間的垂直關系，可建立以為坐標原點的空間直角坐標系，進一步寫出各點的坐標，求出坐標，利用兩者數量積為可證異面直線 與互相垂直；（Ⅱ）通過空間向量間的運算，求出平面的法向量，平面，得出平面的法向量為．進一步利用二面角與兩平面法向量夾角間的關系求出二面角的余弦值．

試題解析：

證：因為側面，均為正方形， ，

所以兩兩互相垂直，如圖所示建立直角坐標系

設，則.

（Ⅰ）證明：由上可知：， ，

所以,所以，所以，異面直線與互相垂直.

（Ⅱ）解： ，

設平面的法向量為，則有

，， ，

取，得

又因為平面，所以平面的法向量為，分

因為二面角是鈍角，所以，二面角的余弦值為.