Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線的準線為，其焦點為F，點B是拋物線C上橫坐標為的一點，若點B到的距離等于．

(1)求拋物線C的方程，

(2)設A是拋物線C上異于頂點的一點，直線AO交直線于點M，拋物線C在點A處的切線m交直線于點N，求證：以點N為圓心，以為半徑的圓經過軸上的兩個定點．

Answer 1

【答案】（1）；（2）定點，

【解析】

(1) 由題意，得，則△BOF為等腰三角形，求出線段OF的中點的橫坐標即可得到拋物線C的方程；

(2) 設切線m的方程為：，聯立方程，借助韋達定理可得，再求出，表示以為半徑的圓的方程即可得到兩個定點.

(1)由題意，得，則△BOF為等腰三角形，

因為點B的橫坐標為，所以線段OF的中點的橫坐標為，

從而點F的橫坐標為1，即，所以p=2，

故所求拋物線C的方程為；

(2)證明：設切線m的方程為：，由

（*）

由題意知，即

所以方程（*）的根為 ，從而，

直線OA的方程為

由，得，由，得，

所以以點N為圓心，以為半徑的圓的方程為，

令，得，解得，

所以圓N經過x軸上的兩個定點和.