Question

【題目】設函數f（x）=emx+x2-mx
（1）（I）證明：f（x）在（-，0）單調遞減，在（0，+）單調遞增；
（2）（II）若對于任意x1 ， x2[-1,1],都有|f（x1）-f（x2）|e-1，求m的取值范圍。

Answer 1

【答案】
（1）

證明：（I）f‘（x）=m（emx-1）+2x

若m0，則當x（-，0）時，emx-10，f‘（x）0；當x（0，+）時，emx-10，f‘（x）0.

若m0，則當x（-，0）時，emx-10，f‘（x）0’；當當x（0，+）時，emx-10，f‘（x）0.

所以，f（x）在（-，0）單調遞減，在（0，+）單調遞增

（2）

【解答】由（I）知，對任意的m，f（x）在[-1,0]單調遞減，在[0,1]單調遞增，故f（x）在x=0處取得最小值。所以對于任意x1,x2[-1,1]，|f（x1）-f（x2）|e-1的充要條件是：，即①,設函數g（t）=,則g‘（t）=et-1，當t0時，g（t）0，當t0時，g（t）0

故g（t）在（-，0）單調遞減，在（0，+）單調遞增

又g（1）=0，g（-1）=,故當t[-1,1]時，g（t）0，當m[-1,1]時，g（m）0，g（-m）0，即①成立。

當m1時，由g（t）的單調性，g（m）0，即,當m-1時，g（-m）0，即,

綜上，m的取值范圍是[-1,1].

【解析】(Ⅰ)先求導函數f‘（x）=m（emx-1）+2x，根據m的范圍討論導函數在（-，0）和（0，+）的符號即可；
（II）|f（x1）-f（x2）|e-1恒成立，等價于|f（x1）-f（x2）|maxe-1。由x1：x2是兩個獨立的變量，故可求研究f（x）的值域，由（I）可得最小值為f（0）=1，最大值可能是f（-1）或f（1），故只需,從而得關于m的不等式，因不易解出，故利用導數研究其單調性和符號，從而得解。
【考點精析】認真審題，首先需要了解基本求導法則(若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導)．