Question

已知橢圓

x2

4

+

y2

3

=1．
（1）是否有這樣的實數值m，使得此橢圓上存在兩點關于直線y=2x+m對稱？如果存在，求出m的值或取值范圍；如果沒有，試說明理由．
（2）若直線為y=kx+m，能使得此橢圓上存在兩點關于直線y=kx+m對稱的m的值的集合為M，要使M⊆（-

1

3

，

1

3

），求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）假設有這樣的實數m滿足條件，設直線y=2x+m與橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有kAB=-

1

2

，即

y2-y1

x2-x1

=-

1

2

．①把點A、B坐標代入橢圓方程并相減可得3(x12-x22)+4(y1-y2)2=0．②由①②得y1+y2=

3

2

(x1+x2)．設AB的中點為M（x₀，y₀），則有

y0= 3 2 x0 y0=2x0+m

，用m表示出x₀，y₀，根據點M在橢圓內部可得關于m的不等式，解出即可作出判斷；
（2）由（1）可求得m的取值集合M，根據M⊆（-

1

3

，

1

3

），可得關于m的不等式解出即可；

解答：解：（1）假設有這樣的實數m滿足條件，設直線y=2x+m與橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有kAB=-

1

2

，即

y2-y1

x2-x1

=-

1

2

．①
又A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點在橢圓上，∴

x12

4

+

y12

3

=1，

x22

4

+

y22

3

=1．
兩式相減并化簡得3(x12-x22)+4(y12-y22)=0．②
由①②得y1+y2=

3

2

(x1+x2)．
設AB的中點為M（x₀，y₀），則有

y0= 3 2 x0 y0=2x0+m

，解之得

x0=-2m y0=-3m

．
但M（x₀，y₀）在橢圓內部，∴

(-2m)2

4

+

(-3m)2

3

＜1，解得-

1

2

＜m＜

1

2

．
∴存在實數m∈(-

1

2

，

1

2

)使得橢圓上存在兩點關于直線y=2x+m對稱．
（2）由（1）知kAB=-

1

k

，即

y2-y1

x2-x1

=-

1

k

．①，3(x12-x22)+4(y1-y2)2=0．②
由①②得y1+y2=

3k

4

(x1+x2)．可解得

x0=- 4 k m y0=-3m

，
由

(- 4 k m)2

4

+

(-3m)2

3

＜1，即m2＜

k2

3k2+4

．
∴M=(-

k2 3k2+4

，

k2 3k2+4

)，
要使M⊆(-

1

3

，

1

3

)，必有

k2

3k2+4

≤

1

9

，解得-

6

3

≤k≤

6

3

．
k的取值范圍為[-

6

3

，

6

3

]．

點評：本題考查直線與橢圓的位置關系問題、對稱問題，存在性問題往往先假設存在，然后根據條件去解，有解則存在，否則不存在；解決本題的關鍵是充分利用對稱條件．