Question

在△ABC中，頂點A，B，C所對三邊分別是a，b，c已知B（-1，0），C（1，0），且b，a，c成等差數列．
（I）求頂點A的軌跡方程；
（II） 設頂點A的軌跡與直線y=kx+m相交于不同的兩點M、N，如果存在過點P（0，-）的直線l，使得點M、N關于l對稱，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（I）由題知得b+c=4，即|AC|+|AB|=4（定值）．
由橢圓定義知，頂點A的軌跡是以B、C為焦點的橢圓（除去左右頂點），且其長半軸長為2，半焦距為1，于是短半軸長為．
∴頂點A的軌跡方程為．…（4分）
（II）由消去y整理得（3+4k²）x²+8kmx+4（m²-3）=0．
∴△=（8km）²-4（3+4k²）×4（m²-3）＞0，
整理得：4k²＞m²-3．①
令M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=-，
設MN的中點P（x₀，y₀），則，，…（7分）
i）當k=0時，由題知，m∈（-，0）．…（8分）
ii）當k≠0時，直線l方程為，
由P（x₀，y₀）在直線l上，得，∴2m=3+4k²．②
把②式代入①中可得2m-3＞m²-3，解得0＜m＜2．
又由②得2m-3=4k²＞0，解得m＞．
∴．
驗證：當（-2，0）在y=kx+m上時，得m=2k代入②得4k²-4k+3=0，k無解，即y=kx+m不會過橢圓左頂點．
同理可驗證y=kx+m不過右頂點．
∴m的取值范圍為（，2）．…（11分）
綜上，當k=0時，m的取值范圍為（-，0）；當k≠0時，m的取值范圍為（，2）．…（12分）
分析：（I）由B（-1，0），C（1，0），且b，a，c成等差數列，可得|AC|+|AB|=4（定值），利用橢圓定義，可得頂點A的軌跡方程；
（II）由消去y整理，利用韋達定理表示出中點坐標，再分類討論，利用點M、N關于l對稱，即可求實數m的取值范圍．
點評：本題考查橢圓的定義與標準方程，考查對稱性，考查直線與橢圓的位置關系，正確表示中點坐標是關鍵．