Question

在△ABC中，頂點A，B，動點D，E滿足：①；②，③共線.

（Ⅰ）求△ABC頂點C的軌跡方程；

（Ⅱ）是否存在圓心在原點的圓，只要該圓的切線與頂點C的軌跡有兩個不同交點M，N，就一定有，若存在，求該圓的方程；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

(I)設C（x,y）,由得，動點的坐標為；

由得，動點E在y軸上，再結合與共線，

得，動點E的坐標為;                  …………2分

由的，，整理得，.

因為的三個頂點不共線，所以，

故頂點C的軌跡方程為.…………5分

(II)假設存在這樣的圓，其方程為，

當直線MN的斜率存在時，設其方程為，代入橢圓的方程，

得，

設M，N，

則，

所以 (*)…………7分

由，得0，

即，

將式子(*)代入上式，得.…………9分

又直線MN：與圓相切知：.

所以，即存在圓滿足題意；

當直線MN的斜率不存在時，可得，滿足.

綜上所述：存在圓滿足題意.

【解析】略