Question

如圖所示，ABCD是一塊邊長為7米的正方形鐵皮，其中ATN是一半徑為6米的扇形，已經被腐蝕不能使用，其余部分完好可利用．工人師傅想在未被腐蝕部分截下一個有邊落在BC與CD上的長方形鐵皮PQCR，其中P是上一點．設∠TAP=θ，長方形PQCR的面積為S平方米．
（1）求S關于θ的函數解析式；
（2）設sinθ+cosθ=t，求S關于t的表達式以及S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）延長RP交AB于E，延長QP交AD于F，由ABCD是正方形，推出S關于θ的函數解析式；
（2）設sinθ+cosθ=t，利用平方關系求出，通過θ的范圍求出t的范圍，得到S關于t的表達式，利用二次函數的性質求出S的最大值．
解答：解：（1）延長RP交AB于E，延長QP交AD于F，
由ABCD是正方形，PRCQ是矩形，可知PE⊥AB，PF⊥AD，
由∠TAP=θ，可得EP=6cosθ，FP=6sinθ，
∴PR=7-6sinθ，PQ=7-6cosθ，（4分）
∴S=PR•PQ=（7-6sinθ）（7-6cosθ）=49-42（sinθ+cosθ）+36sinθcosθ
故S關于θ的函數解析式為S=49-42（sinθ+cosθ）+36sinθcosθ．（6分）
（2）由sinθ+cosθ=t，可得t²=（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ，
即，
∴S=49-42t+18（t²-1）=18t²-42t+31． （9分）
又由，可得，
故，
∴S關于t的表達式為S=18t²-42t+31（）．（11分）
又由，
可知當時，S取最大值，
故S的最大值為．（14分）
點評：本題是中檔題，考查函數解析式的求法，注意必須注明函數的定義域，利用換元法求出函數的表達式，二次函數的最值的求法，考查計算能力．