Question

求下列函數的最值
（1）x＞0時，求y=

6

x2

+3x的最小值．
（2）設x∈[

1

9

，27]，求y=log3

x

27

•log3(3x)的最大值．
（3）若0＜x＜1，求y=x⁴（1-x²）的最大值．
（4）若a＞b＞0，求a+

1

b(a-b)

的最小值．

Answer 1

分析：（1）本題可為三個數的和，將y=

6

x2

+3x變為y=

6

x2

+

3

2

x+

3x

2

，用基本不等式求出最小值．
（2）將函數變形f（x）=（log₃x-3）（log₃x+1）=（log₃x）²-2log₃x-3，令log₃x=t，轉化為二次函數解決．
（3）將原函數式化為y=x⁴（1-x²）=4×

1

2

x²•

1

2

x²（1-x²）后利用基本不等式求解即可．
（4）本題可為三個數的和，可進行變形a+

1

b(a-b)

=a-b+b+

1

b(a-b)

用基本不等式求出最小值．

解答：解：（1）y=y=

6

x2

+3x，
y=

6

x2

+

3

2

x+

3x

2

≥3

3	6 x2 • 3x 2 • 3x 2

=9，
當且僅當

6

x2

=

3x

2

時，取等號，
∴函數的最小值為9．

（2）f（x）=（log₃x-3）（log₃x+1）=（log₃x）²-2log₃x-3
令log₃x=t，由x∈[

1

9

，27]，得，t∈[-2，3]
∴y=t²-2t-3，t∈[-2，3]
當t=-2或3時，y_max=5
（3）y=x⁴（1-x²）=4×

1

2

x²•

1

2

x²（1-x²）≤4×(

1 2 x2+ 1 2 x2+1-x2

3

)3=

4

27

，
故y=x⁴（1-x²）的最大值是

4

27

．
（4）∵a＞b＞0
a+

1

b(a-b)

=a-b+b+

1

b(a-b)

≥3=3

3	(a-b)b 1 b(a-b)

=3，
當且僅當a-b=b=

1

b(a-b)

時取等號．
故最大值為：3．

點評：本題考查基本不等式公式，此題主要考查求函數最值問題，在做題的時候不能只考慮研究函數圖象的方式求最值，需要多分析題目，對于特殊的函數可以用基本不等式直接求得最值．