Question

（1）已知函數g（x）=x²+2x+alnx在區間（0，1）上單調遞減，求實數a的取值范圍．
（2）已知函數f(x)=ln(ax+1)+

1-x

1+x

(x≥0，a＞0)，求f（x）的單調區間．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（1）求函數的導數，根據函數單調性和導數之間的關系即可求實數a的取值范圍．
（2）求函數的導數，解導數不等式即可求出函數的單調區間．

解答： 解：（1）∵g（x）=x²+2x+alnx，故  g′（x）=2x+2+

a

x

．
∵函數g（x）在（0，1）上單調遞減，∴在區間（0，1）內，
g′（x）=2x+2+

a

x

=

2x2+2x+a

x

≤0恒成立，
∴a≤-（2x²+2x）在（0，1）上恒成立．
∵-（2x²+2x）在（0，1）上單調遞減，
∴a≤-4為所求．
（2）∵f′(x)=

ax2+a-2

(ax+1)(1+x)2

，
∵x≥0，a＞0，∴ax+1＞0，
①當a≥2時，在區間（0，+∞），f′（x）＞0，
∴f（x）的單調增區間為（0，+∞），
②當0＜a＜2時，由f′（x）＞0，解得x＞

2-a a

，由f′（x）＜0，解得x＜

2-a a

，
∴f（x）的單調減區間為（0，

2-a a

），單調增區間為（

2-a a

，+∞）．

點評：本題主要考查函數單調性的判斷，利用函數單調性和導數之間的關系，是解決本題的關鍵，考查學生的運算能力．