Question

證明函數y=x³+1在（-∞，+∞）上是增函數．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：方法1：求函數的導數，利用導數研究函數的單調性．
方法2：利用函數的單調性的定義進行證明．

解答： 證明：方法1，∵y=x³+1，∴y′=3x²≥0，此時函數函數y=x³+1在（-∞，+∞）上是增函數．
方法2：設x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（x₁³+1）-（x₂³+1）=（x₁-x₂）（

x

2 1

+x1x2+

x

2 2

），
∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，則f（x₁）＜f（x₂），
則函數y=x³+1在（-∞，+∞）上是增函數．

點評：本題主要考查函數單調性的判斷和證明，利用定義法和導數法是解決函數單調性問題的兩種基本方法．