Question

【題目】已知橢圓的一個焦點為，離心率為.為橢圓的左頂點，為橢圓上異于的兩個動點，直線與直線分別交于兩點.

（I）求橢圓的方程；

（II）若與的面積之比為，求的坐標；

（III）設直線與軸交于點，若三點共線，求證：.

Answer 1

【答案】（I）（II）的坐標為或.（III）見解析

【解析】

（Ⅰ）由題意得c＝1，結合離心率求得a，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；（Ⅱ）由△PAF與△PMF的面積之比為，可得．設M（4，m）（m≠0），P（x0，y0），則，求得．將其代入，解得m＝±9．則M的坐標可求；（Ⅲ）設M（4，m），N（4，n），P（x0，y0），分析可得m≠0，n≠0．直線AM的方程為．聯立直線方程與橢圓方程，利用根與系數的關系求得P的坐標，利用利用對稱性證明若P，F，Q三點共線，則∠MFR＝∠FNR．

（I）由題意得解得

因為，所以.

所以橢圓的方程為.

（II）因為與的面積之比為，

所以.

所以.

設，則，

解得.

將其代入，解得.

所以的坐標為或.

（III）設，

若，則為橢圓的右頂點，由三點共線知，為橢圓的左頂點，

不符合題意.

所以.同理.

直線的方程為.

由消去，整理得.

成立.

由，解得.

所以.

所以.

當時，，，即直線軸.

由橢圓的對稱性可得.

又因為，

所以.

當時，，

直線的斜率.

同理.

因為三點共線，

所以.

所以.

在和中，

，，

所以.

因為均為銳角，

所以.

綜上，若三點共線，則.