【題目】如圖，已知圓錐底面半徑
，
為底面圓圓心，點Q為半圓弧
的中點，點
為母線
的中點，
與
所成的角為
，求：
（1）圓錐的側面積；
（2）
兩點在圓錐面上的最短距離.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）取
中點
，連接
，根據
可得
；根據垂直關系，結合勾股定理和直角三角形中的長度關系可求得圓錐母線長；根據扇形面積公式可求得圓錐的側面積；（2）在圓錐側面上連接
兩點可知最短距離為直線，將圓錐沿母線
展開，根據（1）的結果可知圓心角為
，根據角度和長度關系可證得
為等邊三角形，從而求得結果.
（1）取中點，連接
則 
即為異面直線與
所成角
又
平面
平面
平面 
在
中，
又
圓錐母線長
，即側面展開扇形半徑
底面圓周長
圓錐的側面積
即圓錐的側面積為：
（2）在圓錐側面上連接兩點的所有曲線中，最短的必為直線
由（1）知，側面展開圖扇形的圓心角為
沿母線將圓錐側面展開，如下圖所示：
則
是半圓弧
的中點 
又
為等邊三角形
即
兩點在圓錐面上的最短距離為：
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
（1）求函數
的單調增區間；最大值，以及取得最大值時x的取值集合；
（2）已知
中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，若
，求實數a的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2018年為我國改革開放40周年，某事業單位共有職工600人，其年齡與人數分布表如下：
年齡段 |
|
|
|
|
人數（單位：人） | 180 | 180 | 160 | 80 |
約定：此單位45歲
59歲為中年人，其余為青年人，現按照分層抽樣抽取30人作為全市慶祝晚會的觀眾.
（1）抽出的青年觀眾與中年觀眾分別為多少人？
（2）若所抽取出的青年觀眾與中年觀眾中分別有12人和5人不熱衷關心民生大事，其余人熱衷關心民生大事.完成下列2×2列聯表，并回答能否有90%的把握認為年齡層與熱衷關心民生大事有關？
熱衷關心民生大事 | 不熱衷關心民生大事 | 總計 | |
青年 | 12 | ||
中年 | 5 | ||
總計 | 30 |
（3）若從熱衷關心民生大事的青年觀眾（其中1人擅長歌舞，3人擅長樂器）中，隨機抽取2人上臺表演節目，則抽出的2 人能勝任的2人能勝任才藝表演的概率是多少？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某汽車廠上年度生產汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為12萬元/輛，年銷售量為10000輛．本年度為適應市場需求，計劃提高產品質量，適度增加投入成本．若每輛車投入成本增加的比例為
（
），則出廠價相應地提高比例為
，同時預計年銷售量增加的比例為
，已知年利潤=（出廠價-投入成本）×年銷售量．
（1）寫出本年度預計的年利潤
與投入成本增加的比例的關系式；
（2）為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比應在什么范圍內？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】火電廠、核電站的循環水自然通風冷卻塔是一種大型薄殼型構筑物。建在水源不十分充足的地區的電廠，為了節約用水，需建造一個循環冷卻水系統，以使得冷卻器中排出的熱水在其中冷卻后可重復使用，大型電廠采用的冷卻構筑物多為雙曲線型冷卻塔.此類冷卻塔多用于內陸缺水電站，其高度一般為75~150米，底邊直徑65~120米. 雙曲線型冷卻塔比水池式冷卻構筑物占地面積小，布置緊湊，水量損失小，且冷卻效果不受風力影響；它比機力通風冷卻塔維護簡便，節約電能；但體形高大，施工復雜，造價較高.（以上知識來自百度，下面題設條件只是為了適合高中知識水平，其中不符合實際處請忽略.）
（1）如圖為一座高100米的雙曲線冷卻塔外殼的簡化三視圖（忽略壁厚），其底面直徑大于上底直徑，已知其外殼主視圖與左視圖中的曲線均為雙曲線，高度為100
，俯視圖為三個同心圓，其半徑分別40，
，30，試根據上述尺寸計算視圖中該雙曲線的標準方程（為長度單位米）；
（2）試利用課本中推導球體積的方法，利用圓柱和一個倒放的圓錐，計算封閉曲線：
，
，繞
軸旋轉形成的旋轉體的體積多少？（用
表示）.（用積分計算不得分）現已知雙曲線冷卻塔是一個薄殼結構，為計算方便設其內壁所在曲線也為雙曲線，其壁最厚為0.4（底部），最薄處厚度為0.3（喉部，即左右頂點處），試計算該冷卻塔內殼所在的雙曲線標準方程是？并計算本題中的雙曲線冷卻塔的建筑體積（內外殼之間）大約是多少
；（計算時
取3.14159，保留到個位即可）
（3）冷卻塔體型巨大，造價相應高昂，本題只考慮地面以上部分的施工費用（建筑人工和輔助機械）的計算，鋼筋土石等建筑材料費用和和其它設備等施工費用不在本題計算范圍內.超高建筑的施工（含人工輔助機械等）費用隨著高度的增加而增加，現已知：距離地面高度30米（含30米）內的建筑，每立方米的施工費用平均為：400元/立方米；30米到40米（含40米）每立方米的施工費用為800元/立方米；40米以上，平均高度每增加1米，每立方米的施工費用增加100元.試計算建造本題中冷卻塔的施工費用（精確到萬元）.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，分別過橢圓
左、右焦點
的動直線
相交于
點，與橢圓
分別交于
與
不同四點，直線
的斜率
滿足
．已知當
與
軸重合時，
，
.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在定點
，使得
為定值？若存在，求出點坐標并求出此定值；若不存在，說明理由．
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
，
和
.
【解析】試題分析：（1）當
與
軸重合時，
垂直于軸，得
,得
,
從而得橢圓的方程；（2）由題目分析如果存兩定點，則
點的軌跡是橢圓或者雙曲線 ，所以把
坐標化，可得
點的軌跡是橢圓，從而求得定點
和點
.
試題解析：
當與軸重合時，
, 即
,所以
垂直于軸，得
，
，, 得
,
橢圓
的方程為
.
焦點
坐標分別為
, 當直線
或斜率不存在時，點坐標為
或
;
當直線斜率存在時，設斜率分別為
, 設
由
, 得：
, 所以:
，
, 則：
. 同理：
, 因為
, 所以
, 即
, 由題意知
, 所以
， 設
，則
，即
，由當直線或斜率不存在時，點坐標為或也滿足此方程，所以點在橢圓
上.存在點和點，使得
為定值，定值為
.
考點：圓錐曲線的定義，性質，方程.
【方法點晴】本題是對圓錐曲線的綜合應用進行考查，第一問通過兩個特殊位置，得到基本量，，得,,從而得橢圓的方程，第二問由題目分析如果存兩定點，則點的軌跡是橢圓或者雙曲線 ，本題的關鍵是從這個角度出發，把
坐標化，求得點的軌跡方程是橢圓
，從而求得存在兩定點和點.
【題型】解答題
【結束】
21
【題目】已知
，
，
.
（Ⅰ）若
，求
的極值；
（Ⅱ）若函數
的兩個零點為
，記
，證明：
．
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