Question

已知P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是函數f(x)=

2x

2x+ 2

圖象上的兩點，且

OP

=

1

2

(

OP1

+

OP2

)，點P、A、B共線，且

CP

=x1

CA

+x2

CB

（1）求P點坐標
（2）若S2011=

2010

i=1

f(

i

2011

)，求S₂₀₁₁
（3）若Sn=

n

i=1

f(

i

n

)，記T_n為數列{

1

(Sn+ 2 )(Sn+1+ 2 )

}前n項的和，若Tn＜a(Sn+1+

2

)時，對一切n∈N^*都成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由P．A．B共線且

CP

=x1

CA

+x2

CB

，可求x₁+x₂=1，結合已知函數解析式可尋求f（x）與f（1-x）的函數值的關系，從而可求P
（2）結合（1）中f（x）與f（1-x）的和的關系，利用倒序相加求和即可求解
（3）利用倒序相加可求S_n，代入之后利用裂項相加可求T_n，進而可求a的范圍

解答：解（1）∵P．A．B共線且

CP

=x1

CA

+x2

CB

，
∴x₁+x₂=1
又∵f(x)+f(1-x)=

2x

2x+ 2

+

21-x

21-x+ 2

=

2x

2x+ 2

+

2

2x+ 2

=1
∴P(

1

2

，

1

2

)
（2）S2011=

2010

i=1

f(

i

2011

)=f(

1

2011

)+f(

2

2011

)+…+f(

2009

2011

)+f(

2010

2011

)
∴S2011=f(

2010

2011

)+f(

2009

2011

)+…f(

2

2011

)+f(

1

2011

)
∴2S₂₀₁₁=2010⇒S₂₀₁₁=1005
（3）Sn=

n

i=1

f(

i

n

)=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…f(

n-1

n

)+f(1)
∴Sn=f(1)+f(

n-1

n

)+…f(

2

n

)+f(

1

n

)
∴Sn=

n+3

2

-

2

令bn=

1

(Sn+ 2 )(Sn+1+ 2 )

=

4

(n+3)(n+4)

∴Tn=

2n

n+2

，

2n

n+2

＜a

n+2

2

⇒a＞

4n

(n+2)2

=

4n

n2+4n+4

=

4

n+ 4 n +4

∴a＞

1

8

點評：本題主要考查了向量基本定理的應用及倒序相加、裂項求和方法的應用，體現了數列與函數知識的綜合應用