Question

【題目】已知數列滿足:.

(1)若，求數列的通項公式；

(2)設數列的前項和為，且試確定的值，使得數列為等差數列；

(3)將數列中的部分項按原來順序構成新數列，且，求證:存在無數個滿足條件的無窮等比數列.

Answer 1

【答案】（1）；（2），數列為等差數列；

（3）詳見解析

【解析】

（1）由，兩邊平方化簡可得，則數列是以1為首項，以4為公差的等差數列，根據等差數列的通項公式即可求得，即可求得數列的通項公式；

（2）由（1）可得化簡整理，得利用等差數列的通項公式可得：，即，當時，，化為，取即可得出；

（3）令等比數列的公比，則，設，可得，．因為為正整數，可得數列是數列中包含的無窮等比數列，進而證明結論．

解：（1），則，

數列是以1為首項，以4為公差的等差數列，則，

，

數列的通項公式；

（2）由（1）可得，

，，

，

數列是等差數列，首項為，公差為1．，

，

當時，，化為，

若數列為等差數列，則上式對于時也成立，

，解得．為等差數列．

，數列為等差數列；

（3）證明：由（1）可得．

令等比數列的公比，則，

設，因為，

所以，

，

因為為正整數，

所以數列是數列中包含的無窮等比數列，

因為公比有無數個不同的取值，對應著不同的等比數列，

故無窮等比數列有無數個．