Question

【題目】已知函數f（x）=|x﹣3|﹣|x﹣a|．
（1）當a=2時，解不等式f（x）≤﹣ ；
（2）若存在實數x，使得不等式f（x）≥a成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=2時，f（x）=|x﹣3|﹣|x﹣2|，

當x≥3時，f（x）≤﹣ ，即為（x﹣3）﹣（x﹣2）≤﹣ ，即﹣1 成立，則有x≥3；

當x≤2時，f（x）≤﹣ 即為（3﹣x）﹣（2﹣x） ，即1 ，解得x∈；

當2＜x＜3時，f（x）≤﹣ 即為3﹣x﹣（x﹣2）≤﹣ ，解得，x≥ ，則有 ≤x＜3．

則原不等式的解集為[ ，3）∪[3，+∞）即為[ ，+∞）

（2）解：由絕對值不等式的性質可得||x﹣3|﹣|x﹣a||≤|（x﹣3）﹣（x﹣a）|=|a﹣3|，

即有f（x）的最大值為|a﹣3|．

若存在實數x，使得不等式f（x）≥a成立，則有|a﹣3|≥a，

即 或 ，即有a∈或a≤ ．

則a的取值范圍是（﹣∞， ]

【解析】（1）運用函數的零點分區間，討論當x≥3時，當x≤2時，當2＜x＜3時，化簡不等式解得，最后求并集即可；（2）由題意知這是一個存在性的問題，須求出不等式左邊的最大值，可運用絕對值不等式的性質可得最大值，再令其大于等于a，即可解出實數a的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的絕對值不等式的解法，需要了解含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號才能得出正確答案．