Question

【題目】已知函數f（x）=x|x﹣a|，a∈R，g（x）=x2﹣1．
（1）當a=1時，解不等式f（x）≥g（x）；
（2）記函數f（x）在區間[0，2]上的最大值為F（a），求F（a）的表達式．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）≥g（x），a=1時，即解不等式x|x﹣1|≥x2﹣1，

當x≥1時，不等式為x2﹣x≥x2﹣1，解得x≤1，所以x=1；

當x＜1時，不等式為x﹣x2≥x2﹣1，解得 ，

所以 ；

綜上，x∈ ．

（2）解：因為x∈[0，2]，當a≤0時，f（x）=x2﹣ax，則f（x）在區間[0，2]上是增函數，

所以F（a）=f（2）=4﹣2a；

當0＜a＜2時， ，

則f（x）在區間 上是增函數，在區間 上是減函數，在區間[a，2]上是增函數，

所以F（a）=max{f（ ），f（2）}，

而 ，f（2）=4﹣2a，令 即 ，

解得 ，

所以當 時，F（a）=4﹣2a；

令 即 ，解得 或 ，

所以當 時， ；

當a≥2時，f（x）=﹣x2+ax，

當 即2≤a＜4時，f（x）在間 上是增函數，在 上是減函數，

則 ；

當 ，即a≥4時，f（x）在間[0，2]上是增函數，則F（a）=f（2）=2a﹣4；

所以，

【解析】（1）當a=1時，即解不等式x|x﹣1|≥x2﹣1|，分類討論，分別解關于x的不等式，最后取兩部分的并集即可得到原不等式的解集；（2）由題意，分類討論，確定函數的單調性，可得F（a）的表達式．