Question

【題目】已知在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1B⊥平面ABC，∠ABC=90°，B1B=AB=2BC=4，D、E分別是B1C1 ， A1A的中點．
（1）求證：A1D∥平面B1CE；
（2）設M是的中點，N在棱AB上，且BN=1，P是棱AC上的動點，直線NP與平面MNC所成角為θ，試問：θ的正弦值存在最大值嗎？若存在，請求出 的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：證法一（幾何法）：

連結(jié)BC1，與B1C交于點O，連結(jié)EO，DO，

在△B1BC1中，DO B1B，

在四邊形B1BA1A中，A1E B1B，

∴A1E DO，∴四邊形A1EOD是平行四邊形，∴A1D∥EO

∵A1D平面B1CE，EO平面B1CE，

∴A1D∥平面B1CE．

證法二（向量法）：

如圖，建立空間直角坐標系B﹣xyz，

由已知得A（4，0，0），C（0，2，0），B1（0，0，4），C1（0，2，4），D（0，1，4），E（4，0，2），

則 =（﹣4，1，0）， =（0，2，﹣4）， =（4，0，﹣2），

設平面B1CE的一個法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=1，得 =（1，4，2），

∵ =﹣4+4=0，且A1D平面B1CE，

∴A1D∥平面B1CE．

（2）解：設存在符合題意的點P．

如圖，建立空間直角坐標系B﹣xyz，

由已知得A（4，0，0），C（0，2，0），M（2，0，3），N（1，0，0），

則 =（﹣1，0，﹣3）， =（﹣1，2，0）， =（﹣4，2，0），

設平面MNC的一個法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=6，得 =（6，3，﹣2），

設 = ，（0≤λ≤1），則 = =（3﹣4λ，2λ，0），

由題設得sinθ=|cos＜ ＞|= = = ，

設t=1﹣λ（0≤λ≤1），則λ=1﹣t，且0≤t≤1，

∴sinθ= ，

當t=0時，sinθ=0，

當0＜t≤1時，sinθ= = ≤ = ．

∴當且僅當 ，即t= 時，sinθ取得最大值 ，此時λ= ．

∴存在符合題意的點P，且 = ．

【解析】（1）法一（幾何法）：連結(jié)BC1 ， 與B1C交于點O，連結(jié)EO，DO，推導出四邊形A1EOD是平行四邊形，從而A1D∥EO，由此能證明A1D∥平面B1CE． 法二（向量法）：建立空間直角坐標系B﹣xyz，利用向量法能證明A1D∥平面B1CE．（2）建立空間直角坐標系B﹣xyz，利用向量法求出存在符合題意的點P，且 = ．
【考點精析】關(guān)于本題考查的直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角，需要了解平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能得出正確答案．