Question

【題目】已知數列{an}(n∈N*)滿足：a1＝1，an＋1－sin2θ·an＝cos 2θ·cos2nθ，其中θ∈.

(1)當θ＝時，求數列{an}的通項公式；

(2)在(1)的條件下，若數列{bn}滿足bn＝sin＋cos (n∈N*，n≥2)，且b1＝1，求證：對任意的n∈N*,1≤bn≤恒成立．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】分析：（1）將θ＝代入可得an＋1－an＝0，即＝，從而可得{an}的通項公式；

（2）由(1)得an＝，所以當n∈N*，n≥2時，，從而即可證明.

詳解：(1)當θ＝時，sin2θ＝，cos 2θ＝0，所以an＋1－an＝0，即＝.所以數列{an}是首項為1，公比為的等比數列，即數列{an}的通項公式為an＝ (n∈N*)．

(2)證明：由(1)得an＝，所以當n∈N*，n≥2時，

bn＝sin＋cos＝sin＋cos·＝sin＋cos＝sin，

易知b1＝1也滿足上式，

所以bn＝sin (n∈N*)．

因為n∈N*，所以0<≤，<＋≤，

所以1≤sin≤，即對任意的n∈N*,1≤bn≤恒成立.