Question

【題目】已知f（x）＝ax－ －5ln x，g（x）＝x2－mx＋4.

（1）若x=2是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，求a的值；

（2）當(dāng)a＝2時(shí)，若x1∈（0,1），x2∈[1,2]，都有f（x1）≥g（x2）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）[8－5ln 2，＋∞）．

【解析】

試題分析：（1）由極值的定義知，只要求出，據(jù)此可求得；（2）命題“若x1∈（0,1），x2∈[1,2]，都有f（x1）≥g（x2）成立”，可轉(zhuǎn)化為，因此只要求出兩函數(shù)的最大值可列出相應(yīng)不等式得出的范圍，考慮到是二次函數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)為正，因此最大值在區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得，為了避免討論可列出不等式組．

試題解析：（1），又因?yàn)?是極值點(diǎn)，則，由此，

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，2是極值點(diǎn)，故滿足題意

（2）當(dāng)a＝2時(shí)，f（x）＝2x－ －5ln x，

∴當(dāng)x∈（0，）時(shí)，f ′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈（，1）時(shí)，f ′（x）<0，f（x）單調(diào)遞減．

∴在（0,1）上，f（x）max＝f（）＝－3＋5ln2.

又“x1∈（0,1），x2∈[1,2]，都有f（x1）≥g（x2）成立”等價(jià)于“f（x）在（0,1）上的最大值不小于g（x）在[1,2]上的最大值”，而g（x）在[1,2]上的最大值為max{g（1），g（2）}，

∴，即

解得m≥8－5ln 2.

∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[8－5ln 2，＋∞）