Question

【題目】數列

滿足：或1（k=1,2,…,n－1）．

對任意i，j，都存在s，t，使得，其中i，j，s，t∈{1,2，…，n}且兩兩不相等．

（I）若m=2，寫出下列三個數列中所有符合題目條件的數列的序號；

①1,1,1,2,2,2； ②1,1,1,1,2,2,2,2； ③1,1,1,1,1,2,2,2,2

（II）記．若m=3，求S的最小值；

（III）若m=2018，求n的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）②③；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）2026．

【解析】分析：（Ⅰ）分別把所給的三個數列代入題目條件中進行驗證后可得出結果．（Ⅱ）當m=3時，設數列An中1，2，3出現頻數依次為，由題意．假設，則與已知矛盾，從而，同理可證．假設，則與已知矛盾，所以，由此能證明．（Ⅲ）設1，2，…，2018出現頻數依次為，可得，則．取，，得到的數列為：

，由此能出n的最小值．

詳解：（I）數列滿足：或1（k=1,2,…,n－1）．對任意i，j，都存在s，t，使得，其中i，j，s，t∈{1,2，…，n}且兩兩不相等．

∴在①中，1，1，1，2，2，2，不符合題目條件；

在②中，1，1，1，1，2，2，2，2，符合題目條件；

在③中,1,1,1,1,1,2,2,2,2,符合題目條件．

故所有符合題目條件的數列的序號為②③．

（II）當m=3時，設數列中1,2,3，出現頻數依次為，由題意．

①假設，則有（對任意），

與已知矛盾，所以．

同理可證：．

②假設，則存在唯一的，使得．

則對，有（k，s，t兩兩不相等），與已知矛盾，

所以．

綜上，，，

所以，

故S的最小值為20.

（III）設1，2，…，2018出現頻數依次為．

同（II）的證明，可得，

所以．

取，，得到的數列為：

下面證明滿足題目要求．

對，不妨令，

①如果或，由于，所以符合條件；

②如果或，

由于，，

所以也成立；

③如果，則可選取；同樣的，如果，則可選取，使得，且i，j，s，t兩兩不相等；

④如果，則可選取，注意到這種情況每個數最多被選取了一次，因此也成立．

綜上對任意i，j，總存在s，t，使得，其中i，j，s，t∈{1,2，…，n}且兩兩不相等．

因此滿足題目要求，

所以n的最小值為2026．