Question

（2013•哈爾濱一模）選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為

x=-2-t y=2- 3 t

（t為參數），直線l與曲線C：（y-2）²-x²=1交于A，B兩點
（1）求|AB|的長；
（2）在以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，設點P的極坐標為(2

2

，

3π

4

)，求點P到線段AB中點M的距離．

Answer 1

分析：（1）把直線的參數方程對應的坐標代入曲線方程并化簡得t²+4t-10=0，求出t₁+t₂和t₁•t₂，根據|AB|=|t₁-t₂|，運算求得結果．
（2）根據中點坐標的性質可得AB中點M對應的參數為  

t1+t2

2

=-2，由t的幾何意義可得點P到M的距離，運算求得結果．

解答：解：（1）把直線的參數方程對應的坐標代入曲線方程并化簡得 t²+4t-10=0，
設A，B對應的參數分別為 t₁ 和t₂，則  t₁+t₂=-4，t₁•t₂ =-10．     …（3分）
所以|AB|=|t₁-t₂|=2

14

． …（5分） 
（2）易得點P在平面直角坐標系下的坐標為（-2，2），
根據中點坐標的性質可得AB中點M對應的參數為 

t1+t2

2

=-2．   …（8分）
所以由t的幾何意義可得點P到M的距離為|PM|=2．…（10分）

點評：本題主要考查直線的參數方程、點到直線的距離公式，用極坐標刻畫點的位置，屬于基礎題．