Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）當時，求函數的極值；

（Ⅱ）若，且方程在區間內有解，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 極小值為，極大值為. (Ⅱ)

【解析】

（Ⅰ）將a＝b＝1代入函數f（x）的解析式，求函數f（x）的導數f′（x），求出極值點，并分析函數f（x）的單調性，即可確定函數的極大值和極小值；

（Ⅱ）由f（1）＝1，得b＝e﹣1﹣a，再由f（x）＝1，得ex＝ax2+bx+1，構造函數g（x）＝ex﹣ax2﹣bx﹣1，分析函數g（x）在區間（0，1）上的單調性，結合函數g（x）的極值正負確定方程f（x）＝1在區間（0，1）內有解的等價條件，從而構造不等式求出實數a的取值范圍．

（Ⅰ），當時，，

，得，∴在上單調遞增；

，得或，∴在和上單調遞減.

∴的極小值為，極大值為.

（Ⅱ）由得，由得，

設，則在內有零點，設為在內的一個零點，

由知在和不單調.

設，則在和上均存在零點，即在上至少有兩個零點.

，，

當時，，在上遞增，不可能有兩個及以上零點，

當時，，在上遞減，不可能有兩個及以上零點，

當時，令得，

∴在上遞減，在上遞增，在上存在最小值，

若有兩個零點，則有，，，

，，

設，，則，令，得，

當時，，遞增；當時，，遞減.

∴，∴恒成立.

由，，得.