Question

已知實數a滿足1＜a≤2，設函數f (x)＝x³－x²＋ax．

(Ⅰ) 當a＝2時，求f (x)的極小值；

(Ⅱ) 若函數g(x)＝4x³＋3bx²－6(b＋2)x (b∈R) 的極小值點與f (x)的極小值點相同，

求證：g(x)的極大值小于等于10．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)解：f (x)的極小值為f (2)＝．

 (Ⅱ) 略

【解析】在高中階段，導數是研究函數性質的重要而有效的工具之一，包括函數的單調性，極值，最值等，本題就是利用導函數研究函數的極值．近兩年的高考題中，對導數部分的考查是越來越常見，其重要性也不言而喻

（Ⅰ）將a=2代入到解析式中，并求導．令f′（x）=0，求出極值點，并列表判斷極大值極小值點．

（Ⅱ）一方面，利用（Ⅰ）的結論，找出f（x）的極小值點a，即為g（x）的極小值點．另一方面，對g（x）求導，求出極小值點．再建立等式，即，得到a，b的關系式．由a的范圍算出極大值g（1）的范圍，從而得證．