Question

【題目】已知橢圓長軸的兩個端點分別為，， 離心率.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）作一條垂直于軸的直線，使之與橢圓在第一象限相交于點，在第四象限相交于點，若直線與直線相交于點，且直線的斜率大于，求直線的斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用已知條件，求得，再由，求得的值，即可求解；

（2）設，其中，，可得，求得直線的方程，聯立方程組，求得點的坐標，得出直線斜率，結合橢圓的范圍，即可求解斜率的取值范圍.

（1）由題意知，橢圓長軸的兩個端點分別為，，可得，

又由，即，可得，

又因為，

所以橢圓的標準方程為.

（2）設，其中，，可得，

由斜率公式，可得，，

所以直線的方程為；直線的方程為，

聯立方程組，解得，即點，

所以，即，

又由，

令，，則

所以，

因為，所以，則，

所以，即實數直線的斜率的取值范圍.