Question

已知函數，．
(1)若，求函數的單調區間；
(2)若恒成立，求實數的取值范圍；
(3)設，若對任意的兩個實數滿足，總存在，使得成立，證明：．

Answer 1

(1) 函數的單調遞減區間為(0，1)，單調遞增區間為(1，
(2)    (3)構造函數證明.

解析試題分析：(1)當時，函數，則．
當時，，當時，1，
則函數的單調遞減區間為(0，1)，單調遞增區間為(1，．
(2)恒成立，即恒成立，整理得恒成立．
設，則，令，得．當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，因此當時，取得最大值1，因而．
(3)，．
因為對任意的總存在，使得成立，
所以，即，
即
．
設，其中，則，因而在區間(0，1)上單調遞增，，又．所以，即．
考點：利用導數研究函數的單調性；導數在最大值、最小值問題中的應用
點評：本題是中檔題，考查函數的導數的應用，不等式的綜合應用，考查計算能力，轉化思想的應用．