Question

【題目】設函數，其中為實數.

（1）已知函數是奇函數，直線是曲線的切線，且， ，求直線的方程；

（2）討論的單調性.

Answer 1

【答案】(1) 6x+3y﹣1=0或2x+y+5=0 (2)見解析

【解析】試題分析：（1）根據函數g（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函數可求出a的值，然后根據l1⊥l2可求出l1的斜率，從而可求出切點坐標，求出切線方程；

（2）先求函數f（x）的導函數f′（x），再解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0即可得函數的單調區間，本題需討論a與﹣和0的大小關系．

試題解析：

解：（1）∵，

∴f′（x）=ax2﹣x﹣（a+1）

則g（x）=f（x）﹣f′（x）=﹣ax2+x+（a+1）=

∵函數g（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函數∴+a=0即a=﹣則f′（x）=﹣x2﹣x﹣

∵l1⊥l2，l2：x﹣2y﹣8=0

∴l1的斜率為﹣2，即f′（x）=﹣x2﹣x﹣=﹣2解得x=1或﹣3

即切點為（1，﹣）或（﹣3，1）

∴直線l1的方程為6x+3y﹣1=0或2x+y+5=0

（2）f′（x）=ax2﹣x﹣（a+1）=（ax﹣a﹣1）（x+1）

當a=0時，f′（x）=﹣x﹣1，當x∈（﹣∞，﹣1）時，f′（x）＞0，當x∈（﹣1，+∞）時，f′（x）＜0

∴函數f（x）的單調增區間為（﹣∞，﹣1），單調遞減區間為（﹣1，+∞）

當a＞0時，當x∈（﹣∞，﹣1）時，f′（x）＞0，當x∈（﹣1，1+）時，f′（x）＜0，當x∈（1+，+∞）時，f′（x）＞0

∴函數f（x）的單調增區間為（﹣∞，﹣1），（1+，+∞）單調遞減區間為（﹣1，1+）

當﹣＜a＜0時，當x∈（﹣∞，1+）時，f′（x）＜0，當x∈（1+，﹣1）時，f′（x）＞0，當x∈（﹣1，+∞）時，f′（x）＜0

∴函數f（x）的單調增區間為（1+，﹣1）單調遞減區間為（﹣∞，1+），（﹣1，+∞）

當a=﹣時，f′（x）≤0恒成立，即函數單調遞減區間為（﹣∞，+∞）

當a＜﹣時，當x∈（﹣∞，﹣1）時，f′（x）＜0，當x∈（﹣1，1+）時，f′（x）＞0，當x∈（1+，+∞）時，f′（x）＜0

∴函數f（x）的單調增區間為（﹣1，1+）單調遞減區間為（﹣∞，﹣1），（1+，+∞）