Question

【題目】設函數.

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）若關于的不等式對任意的恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）的單調增區間為，減區間為（2）

【解析】

（1）根據函數的單調性與導數的關系，分別在定義域內解不等式和，即可求出函數的單調增區間和減區間；

（2）根據題意可知，只需即可，再通過導數研究函數在的單調性，求出，由即可解出實數的取值范圍．

（1）函數的定義域為，

當時，函數

對函數求導得，

所以， 由，解得；由，解得．

故函數的單調增區間為，減區間為．

（2）對函數求導得，.

再次求導得

當時，又，，

故在上，，所以在上單調遞增，

故，符合題意；

當時，又，則，故在上單調遞減，

故，不符合題意，舍去；

③當時，令，則當時，

有在上單調遞減，

故，不符合題意，舍去.

綜上所述，實數的取值范圍為．