Question

（本小題滿分12分）如下圖，某隧道設計為雙向四車道，車道總寬20 m，要求通行車輛限高5 m，隧道全長2.5 km，隧道的兩側是與地面垂直的墻，高度為3米，隧道上部拱線近似地看成半個橢圓．

（1）若最大拱高h為6 m，則隧道設計的拱寬l是多少？

（2）若要使隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小，則應如何設計拱高h和拱寬l？

（已知：橢圓+=1的面積公式為S=，柱體體積為底面積乘以高.）

（3）為了使隧道內部美觀，要求在拱線上找兩個點M、N，使它們所在位置的高度恰好是限高5m，現以M、N以及橢圓的左、右頂點為支點，用合金鋼板把隧道拱線部分連接封閉，形成一個梯形，若l=30m，梯形兩腰所在側面單位面積的鋼板造價是梯形頂部單位面積鋼板造價的倍，試確定M、N的位置以及的值，使總造價最少.

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   拱高為(+3)m、拱寬為20m（Ⅲ）

解析:

如下圖建立直角坐標系，則點P（10， 2），

橢圓方程為+=1.將b=h-3=3與點P坐標代入橢圓方程，得a=，此時l=2a=,因此隧道的拱寬約為 m.

（2） 要使隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小，由柱體的體積公式可知：只需半橢

圓的面積最小即可．由橢圓方程+=1，得+=1.因為+≥，即ab≥40，所以半橢圓面積S=≥當S取最小值時，有==，得a=10，b=.

此時l=2a=20，  h=b+3=+3…故當拱高為(+3)m、拱寬為20m時，隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小……13分

（3）根據題意設

       設 

則

令，，

且時，

∴時，取最小值，此時,代入橢圓方程得

∴