Question

已知數列{a_n}是各項均為正整數的等差數列，公差d∈N^*，且{a_n}中任意兩項之和也是該數列中的一項．
（1）若a₁=4，則d的取值集合為

 

；
（2）若a₁=2^m（m∈N^*），則d的所有可能取值的和為

 

．

Answer 1

分析：由題意可得，a_p+a_q=a_k，其中p、q、k∈N^*，利用等差數列的通項公式可得d與a₁的關系，然后根據d的取值范圍進行求解．

解答：解：由題意可得，a_p+a_q=a_k，其中p、q、k∈N^*，
由等差數列的通向公式可得a₁+（p-1）d+a₁+（q-1）d=a₁+（k-1），
整理得d=

a1

k-p-q+1

，
（1）若a₁=4，則d=

4

k-p-q+1

，
∵p、q、k∈N^*，公差d∈N^*，
∴k-p-q+1∈N^*，
∴d=1，2，4，
故d的取值集合為 {1，2，4}；
（2）若a₁=2^m（m∈N^*），則d=

2m

k-p-q+1

，
∵p、q、k∈N^*，公差d∈N^*，
∴k-p-q+1∈N^*，
∴d=1，2，4，…，2^m，
∴d的所有可能取值的和為1+2+4+…+2^m=

1×(1-2m+1)

1-2

=2^m+1-1，
故答案為（1）{1，2，4}，（2）2^m+1-1．

點評：本題考查了等差數列的通項公式，運用了解方程求正整數根的解題思想，特別注意p、q、k、d∈N^*這一條件的運用．