Question

若一個數列各項取倒數后按原來的順序構成等差數列，則稱這個數列為調和數列．已知數列{a_n}是調和數列，對于各項都是正數的數列{x_n}，滿足xnan=xn+1an+1=xn+2an+2（n∈N^*）．
（Ⅰ）證明數列{x_n}是等比數列；
（Ⅱ）把數列{x_n}中所有項按如圖所示的規律排成一個三角形數表，當x₃=8，x₇=128時，求第m行各數的和；
（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的數列{x_n}，證明：

n

2

-

1

3

＜

x1-1

x2-1

+

x2-1

x3-1

+…+

xn-1

xn+1-1

＜

n

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設條件知a_nlgx_n=a_n+1lgx_n+1=a_n+2lgx_n+2．設a_nlgx_n=a_n+1lgx_n+1=a_n+2lgx_n+2=p，有

2p

an+1

=

p

an

+

p

an+2

，由此導出x_n+1²=x_nx_n+2，所以數列{x_n}是等比數列．
（Ⅱ）由題意知{x_n}的公比為q=2．x_n=x₃q^n-3=8×2^n-3=2ⁿ．由此能夠推導出第m行各數的和為Sm=

2 m2-m+2 2 (2m-1)

2-1

=2

m2-m+2

2

(2m-1)．
（Ⅲ）由x_n=2ⁿ，知

xk-1

xk+1-1

=

2k-1

2k+1-1

=

2k-1

2(2k- 1 2 )

＜

1

2

．所以

x1-1

x2-1

+

x2-1

x3-1

++

xn-1

xn+1-1

＜

1

2

+

1

2

++

1

2

=

n

2

．
由此入手能夠導出

n

2

-

1

3

＜

x1-1

x2-1

+

x2-1

x3-1

++

xn-1

xn+1-1

＜

n

2

．

解答：解：（Ⅰ）證明：因為

x

an n

=

x

an+1 n+1

=

x

an+2 n+2

，且數列{x_n}中各項都是正數，
所以a_nlgx_n=a_n+1lgx_n+1=a_n+2lgx_n+2．
設a_nlgx_n=a_n+1lgx_n+1=a_n+2lgx_n+2=p，①
因為數列{a_n}是調和數列，故a_n≠0，

2

an+1

=

1

an

+

1

an+2

．
所以，

2p

an+1

=

p

an

+

p

an+2

．②
由①得

p

an

=lgxn，

p

an+1

=lgxn+1，

p

an+2

=lgxn+2，代入②式得，
所以2lgx_n+1=lgx_n+lgx_n+2，即lgx_n+1²=lg（x_nx_n+2）．
故x_n+1²=x_nx_n+2，所以數列{x_n}是等比數列．（5分）
（Ⅱ）設{x_n}的公比為q，則x₃q⁴=x₇，即8q⁴=128．由于x_n＞0，故q=2．
于是x_n=x₃q^n-3=8×2^n-3=2ⁿ．
注意到第n（n=1，2，3，）行共有n個數，
所以三角形數表中第1行至第m-1行共含有1+2+3++(m-1)=

m(m-1)

2

個數．
因此第m行第1個數是數列{x_n}中的第

m(m-1)

2

+1=

m2-m+2

2

項．
故第m行第1個數是x

m2-m+2

2

=2

m2-m+2

2

，
所以第m行各數的和為Sm=

2 m2-m+2 2 (2m-1)

2-1

=2

m2-m+2

2

(2m-1)．（9分）
（Ⅲ）因為x_n=2ⁿ，所以

xk-1

xk+1-1

=

2k-1

2k+1-1

=

2k-1

2(2k- 1 2 )

＜

1

2

．
所以

x1-1

x2-1

+

x2-1

x3-1

++

xn-1

xn+1-1

＜

1

2

+

1

2

++

1

2

=

n

2

．
又

xk-1

xk+1-1

=

2k-1

2k+1-1

=

1

2

-

1

2(2k+1-1)

=

1

2

-

1

3•2k+2k-2

≥

1

2

-

1

3

•

1

2k

（k=1，2，3，，n），
所以

x1-1

x2-1

+

x2-1

x3-1

++

xn-1

xn+1-1

≥(

1

2

+

1

2

++

1

2

)-

1

3

[

1

2

+(

1

2

)2++(

1

2

)n]
=

n

2

-

1

3

•

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=

n

2

-

1

3

•[1-(

1

2

)n]＞

n

2

-

1

3

．
所以

n

2

-

1

3

＜

x1-1

x2-1

+

x2-1

x3-1

++

xn-1

xn+1-1

＜

n

2

．（14分）

點評：本題考查數列知識的綜合運用，難度較大，解題時要注意挖掘隱含條件，靈活運用公式．