Question

如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸長為2r，短半軸長為r，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點在橢圓上，記CD=2x，梯形面積為S．
（1）求面積S以x為自變量的函數式，并寫出其定義域；
（2）求S²的最大值．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,函數模型的選擇與應用

專題：導數的綜合應用

分析：（1）以AB的中點O為原點，建立直角坐標系O-xyz，點C的縱坐標y滿足方程

x2

r2

+

x2

4r2

=1，y≥0，由此能求出面積S以x為自變量的函數式及其定義域．
（2）設f（x）=4（x+r）²（r²-x²），0＜x＜r，則f′（x）=S（x+r）²（r-2x），令f′（x）=0，得x=

1

2

y，由此能求出x=

1

2

r時，S²取得最大值

27

4

r4．

解答： 解：（1）依題意，以AB的中點O為原點，建立直角坐標系O-xyz，如圖
則點C的橫坐標為x，點C的縱坐標y滿足方程

x2

r2

+

x2

4r2

=1，y≥0，
解得y=2

r2-x2

，（0＜x＜r）．
∴S=

1

2

(2x+2r)•2

r2-x2

=2（x+r）•

r2-x2

，其定義域為{x|0＜x＜r}．
（2）設f（x）=4（x+r）²（r²-x²），0＜x＜r，
則f′（x）=S（x+r）²（r-2x），
令f′（x）=0，得x=

1

2

y，
∵當0＜x＜

r

2

時，f′（x）＞0；當

r

2

＜x＜r時，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，

r

2

）上是遞增函數，在（

r

2

，r）上是遞減函數，
∴f（

1

2

r）是f（x）的最大值，
∴當x=

1

2

r時，S²也取得最大值，最大值是

27

4

r4．

點評：本題考查函數的解析式的求法，考查函數的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數性質的靈活運用．