Question

在棱長為1的正方體上，分別用過共頂點的三條棱中點的平面截該正方體（如圖），則截去8個三棱錐后，求剩下的幾何體的體積與原正方體體積比．

Answer 1

分析：由題意，被截得的三棱錐是三條側棱都等于

1

2

的正三棱錐，且三條側棱兩兩垂直．由此可得被截得的三棱錐體積為

1

48

，結合正方體的體積公式，不難得到剩下的幾何體的體積與原正方體體積比．

解答：解：根據題意，被截得的三棱錐是三條側棱都等于

1

2

的正三棱錐
∵正三棱錐三條側棱兩兩垂直，且長度都為

1

2

∴以一個側面為底時，它的高等于

1

2

，此時的底面積S=

1

2

×

1

2

×

1

2

=

1

8

，
∴該三棱錐的體積為V₁=

1

3

×

1

8

×

1

2

=

1

48

∵在正方體的8個角都截去一個如圖的三棱錐
∴截去8個三棱錐后，求剩下的幾何體的體積V=V_正方體-8V₁=1×1×1-

1

48

×8=

5

6

由此可得，剩下的幾何體的體積與原正方體體積比為

5

6

：1=5：6．

點評：本題將正方體沿8個頂點截去8個三棱錐，求剩余幾何體與正方體的體積之比，著重考查了正方體的性質和錐體體積求法等知識，屬于基礎題．