Question

已知函數．
（1）當時，判斷在的單調性，并用定義證明；
（2）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍；
（3）討論零點的個數．

Answer 1

(1)單調遞減函數；(2)；(3)當或時，有1個零點.當或或時，有2個零點；當或時，有3個零點.

試題分析：(1)先根據條件化簡函數式，根據常見函數的單調性及單調性運算法則，作出單調性的判定，再用定義證明；(2)將題中所給不等式具體化，轉化為不等式恒成立問題，通過參變分離化為，求出的最大值，則的范圍就是大于的最大值；(3)將函數零點個數轉化為方程解的個數，再轉化為函數與交點個數，運用數形結合思想求解.
試題解析：（1）當，且時，是單調遞減的
證明：設，則




又，所以，
所以
所以，即
故當時，在上單調遞減
（2）由得
變形為，即
而
當即時
所以
（3）由可得，變為
令
作的圖像及直線

由圖像可得：
當或時，有1個零點
當或或時，有2個零點
當或時，有3個零點．