Question

已知函數，其中為正常數．

（Ⅰ）求函數在上的最大值；

（Ⅱ）設數列滿足：，，

（1）求數列的通項公式；

（2）證明：對任意的，；

（Ⅲ）證明：．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2），并運用數列的通項公式來結合函數的性質來得到證明。

（3）從已經研究出的性質出發，實現求和結構的放縮.

【解析】

21.  試題分析：解：（Ⅰ）由，可得，

（2　分）

所以，，， （3　分）

則在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，

所以，． （4　分）

（Ⅱ）（1）由，得，又，

則數列為等比數列，且， （5　分）

故為所求通項公式． （6　分）

（2）即證，對任意的，

（　7分）

證法一：（從已有性質結論出發）

由（Ⅰ）知 （9　分）

即有對于任意的恒成立． （10　分）

證法二：（作差比較法）

由及 （　8分）

 （9　分）

即有對于任意的恒成立． （10　分）

（Ⅲ）證法一：（從已經研究出的性質出發，實現求和結構的放縮）

由（Ⅱ）知，對于任意的都有，

于是，

（11　分）對于任意的恒成立

特別地，令，即， （12　分）

有，故原不等式成立．

（14　分）

以下證明小組討論給分

證法二：（應用柯西不等式實現結構放縮）

由柯西不等式：

其中等號當且僅當時成立．

令，，可得

則

而由，所以

故，所證不等式成立．

證法三：（應用均值不等式“算術平均數”“幾何平均數”）

由均值不等式：，其中

可得 ，

兩式相乘即得，以下同證法二．

證法四：（逆向分析所證不等式的結構特征，尋找證明思路）

欲證，

注意到，而

從而所證不等式可以轉化為證明

在此基礎上可以考慮用數學歸納法證明此命題

考點：數列的運用

點評：本試題考查了數列的通項公式和數列的最值的運用，屬于基礎題。