Question

以下四個命題：
①工廠制造的某機械零件尺寸ξ～N（4，），在一次正常的試驗中，取1000個零件時，不屬于區間（3，5）這個尺寸范圍的零件大約有3個．
②拋擲n次硬幣，記不連續出現兩次正面向上的概率為P_n，則P_n=0
③若直線ax+by-3a=0與雙曲線-=1有且只有一個公共點，則這樣的直線有2條．
④已知函數f（x）=x++a²，g（x）=x³-a³+2a+1，若存在x₁，x₂∈[，a]（a＞1），使得|f（x₁）-g（x₂）|≤9，則a的取值范圍是（1，4]．
其中正確的命題是________（寫出所有正確的命題序號）

Answer 1

①②④
分析：①根據3σ原則知不屬于（μ-3σ，μ+3σ）的事件為小概率事件，其概率為0.3%；
②根據統計的意義，拋擲硬幣次數足夠多時，不連續出現兩次正面向上幾乎不可能發生；
③直線ax+by-3a=0恒過定點（3，0），與雙曲線-=1有且只有一個公共點，這樣的直線有3條；
④確定f（x）的最小值，g（x）在[，a]（a＞1上的最大值，從而可得|a²+2-（2a+1）|≤9，由此可得a的取值范圍．
解答：①ξ～N（4，），則μ=4，σ=，取1000個零件時，不屬于區間（3，5），由3σ原則知不屬于（μ-3σ，μ+3σ）的事件為小概率事件，其概率為0.3%，所以1000個零件中有3個不在范圍內，故①正確；
②根據統計的意義，拋擲硬幣次數足夠多時，不連續出現兩次正面向上幾乎不可能發生，所以P_n=0，故②正確；
③直線ax+by-3a=0恒過定點（3，0），與雙曲線-=1有且只有一個公共點，這樣的直線有3條，兩條與漸近線平行，一條與雙曲線相切，故③不正確；
④當且僅當x=1時，f（x）的最小值為2+a²，g（x）在[，a]（a＞1上的最大值為a³-a³+2a+1=2a+1，故|a²+2-（2a+1）|≤9，所以|a²-2a+1|≤9，所以a²-2a+10≥0且a²-2a-8≤0，即（a-4）（a+2）≤0，所以-2≤a≤4，因為a＞1，所以a的取值范圍是（1，4]，故④正確；
綜上可知，正確的命題是①②④
故答案為：①②④
點評：本題考查命題真假判斷，考查學生分析解決問題的能力，知識點多，綜合性強．