Question

設橢圓的方程為，線段PQ是過左焦點F且不與x軸垂直的焦點弦．若在左準線上存在點R，使△PQR為正三角形，求橢圓的離心率e的取值范圍，并用e表示直線PQ的斜率．

Answer 1

答案：
解析：

■少圖 　　解：如圖，設線段的中點為． 　　過點、、分別作準線的垂線，垂足分別為、、，則 　　．　　　　　　6分 　　假設存在點，則，且，即 　　， 　　所以，．　　　　　　　　　　　　　12分 　　于是，，故 　　． 　　若(如圖)，則 　　．　　　　　　18分 　　當時，過點作斜率為的焦點弦，它的中垂線交左準線于，由上述運算知，．故正三角形.　　　　　21分 　　若，則由對稱性得． 　　又，所以，橢圓的離心率的取值范圍是，直線的斜率為．