Question

設橢圓的方程為 , 線段  是過左焦點  且不與  軸垂直的焦點弦. 若在左準線上存在點 , 使  為正三角形, 求橢圓的離心率  的取值范圍, 并用  表示直線  的斜率.

Answer 1

解析:

如圖, 設線段  的中點為 ．過點 、、 分別作準線的垂線, 垂足分別為 、、, 則

． ……………  6分

假設存在點 ，則 ， 且 ， 即 ，所以，．……… 12分.

于是，， 故．

若  (如圖)，則.  … 18分

當  時, 過點  作斜率為  的焦點弦 , 它的中垂線交左準線于 , 由上述運算知, ． 故  為正三角形.    ………… 21分

若 ，則由對稱性得．      ……………… 24分

又 , 所以，橢圓  的離心率  的取值范圍是， 直線  的斜率為 ．