Question

設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），線段PQ是過左焦點F且不與x軸垂直的焦點弦．若在左準線上存在點R，使△PQR為正三角形，求橢圓的離心率e的取值范圍，并用e表示直線PQ的斜率．

Answer 1

分析：如圖，設線段PQ 的中點為M．過點 P、M、Q 分別作準線的垂線，垂足分別為 P′、M′、Q′，利用梯形的中位線定理和橢圓的第二定義可得：|MM′|=

1

2

(|PP′|+|QQ′|)=

1

2

(

|PF|

e

+

|QF|

e

)=

|PQ|

2e

．假設存在點 R，利用正三角形的性質可得：|RM|=

3

2

|PQ|，且|MM′|＜|RM|，即

|PQ|

2e

＜

3 |PQ|

2

，即可得到離心率的取值范圍．于是cos∠RMM′=

|MM′|

|RM|

=

|PQ|

2e

•

2

3 |PQ|

=

1

3 e

．故cot∠RMM′=

1

3e2-1

．若|PF|＜|QF|（如圖），可得k_PQ=tan∠QFx=tan∠FMM′=cot∠RMM′．即可得出．

解答：解：如圖，設線段PQ 的中點為M．
過點 P、M、Q 分別作準線的垂線，垂足
分別為 P′、M′、Q′，則|MM′|=

1

2

(|PP′|+|QQ′|)=

1

2

(

|PF|

e

+

|QF|

e

)=

|PQ|

2e

．
假設存在點 R，則|RM|=

3

2

|PQ|，且|MM′|＜|RM|，即

|PQ|

2e

＜

3 |PQ|

2

，
∴e＞

3

3

．
于是，cos∠RMM′=

|MM′|

|RM|

=

|PQ|

2e

•

2

3 |PQ|

=

1

3 e

．故cot∠RMM′=

1

3e2-1

．
若|PF|＜|QF|（如圖），則k_PQ=tan∠QFx=tan∠FMM′=cot∠RMM′=

1

3e2-1

．
當e＞

3

3

 時，過點F 作斜率為

1

3e2-1

 的焦點弦PQ，它的中垂線交左準線于 R，
由上述知，|RM|=

3

2

|PQ|． 故△PQR 為正三角形．
若|PF|＞|QF|，則由對稱性得kPQ=-

1

3e2-1

．
又 e＜1，所以，橢圓的離心率 e 的取值范圍是(

3

3

，1)，直線 PQ 的斜率為±

1

3e2-1

．

點評：本題綜合考查了橢圓的第二定義、梯形的中位線定理、正三角形的性質、直線的斜率、分類討論等基礎知識與基本技能，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．