Question

已知正項數(shù)列中，其前項和為，且.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，，求證：；
（3）設(shè)為實數(shù)，對任意滿足成等差數(shù)列的三個不等正整數(shù) ，不等式都成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）證明過程詳見解析；（3）.

試題分析：本題主要考查等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式、錯位相減法、恒成立問題、基本不等式等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、計算能力、轉(zhuǎn)化能力.第一問，法一，利用轉(zhuǎn)化已知表達式中的，證明數(shù)列為等差數(shù)列，通過，再求；法二，利用轉(zhuǎn)化，證明數(shù)列為等差數(shù)列，直接得到的通項公式；第二問，結(jié)合第一問的結(jié)論，利用錯位相減法證明不等式的右側(cè)，而，利用放縮法，得，從而證明了不等式的左邊，即得證；第三問，利用等差中項的概念得到m，n，k的關(guān)系，先將不等式都成立轉(zhuǎn)化為，則關(guān)鍵是求出的最小值，利用基本不等式求函數(shù)最值.
（1）法一：由得
當時，，且，故        １分
當時，，故，得，
∵正項數(shù)列，
∴
∴是首項為，公差為的等差數(shù)列.            ４分
∴  ，
∴  .                     5分
法二：
當時，，且，故            1分
由得，
當時，
∴ ，整理得 
∵正項數(shù)列，，
∴ ，                        4分
∴是以為首項，為公差的等差數(shù)列，
∴  .                            5分
（2） 
∴
∴
∴兩式相減得
 
                       8分
∵ ，∴
∵  ∴
∴                            10分
（3）∵不等正整數(shù)是等差數(shù)列，
∴，
∴，             11分
又，
∴ 
故實數(shù)的取值范圍為.                    14分