Question

已知數列和滿足：，其中為實數，為正整數.
（1）對任意實數，求證：不成等比數列；
（2）試判斷數列是否為等比數列，并證明你的結論.
（3）設為數列的前項和.是否存在實數，使得對任意正整數，都有?若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）當時，數列是等比數列；（3）存在，且.

試題分析：（1）證明否定性命題，可用反證法.如本題中可假設存在，使成等比數列，則可由來求，若求不出，說明假設錯誤，結論是不存在，，但這個式子化簡后為，不可能成立，即不存在；（2）要判定是等比數列，由題意可先求出的遞推關系，，這時還不能說明就是等比數列，還要求出，，只有當時，數列才是等比數列，因此當時，不是等比數列，當時，是等比數列.（3）存在性命題的解法，都是假設存在，然后求解，由（2）當時，，則滿足題意，當時，，，即，即，
我們只要求出的最小值，從此式可看出最小值在為正奇數時取得，利用函數的單調性知時取最小值.
（1）證明：假設存在一個實數，使是等比數列，則有,
即矛盾.
所以不成等比數列.          4分
（2）因為
        6分
又,
所以當，，(為正整數)，此時不是等比數列.  8分
當時，，由上式可知，∴(為正整數) ，
故當時，數列是以為首項，－為公比的等比數列.          10分
（3）由（2）知，當時，, 則，所以恒成立.
當，得，于是        13分
要使對任意正整數，都有成立，即           
，令，
則當為正奇數時， 當為正偶數時，
∴的最大值為, 于是可得
綜上所述，存在實數，使得對任意正整數，都有         18分