Question

【題目】已知圓O：x2+y2＝3上的一動(dòng)點(diǎn)M在x軸上的投影為N，點(diǎn)P滿足．

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

（2）若直線l與圓O相切，且交曲線C于點(diǎn)A，B，試求|AB|的最大值．

Answer 1

【答案】（1）3x2+2y2＝9．（2）最大值為2

【解析】

（1）設(shè)根據(jù)已知，將點(diǎn)坐標(biāo)用表示，代入圓方程，即可求解；

（2）設(shè)直線l的方程為，根據(jù)條件求出關(guān)系，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去，得到關(guān)于的方程，利用根與系數(shù)關(guān)系，求出關(guān)于的函數(shù)，利用換元法，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.

（1）設(shè)P（x，y），M（x0，y0），則N（x0，0），∵，

∴（x 0﹣x，0﹣y）（0，0﹣y0），即有，

點(diǎn)M在圓O：x2+y2＝3上所以x02+y02＝3，

代入得，

∴點(diǎn)P的軌跡C為．

（2）由已知可得當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)不合題意．

故可設(shè)直線l的方程為y＝kx+t，即kx﹣y+t＝0．

∵圓O與直線l相切，∴圓O到直線l的距離，

∴t2＝3（k2+1），

由可得（3+2k2）x2+4ktx+2t2﹣9＝0，

恒成立．

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，

∵t2＝3（k2+1），

∴|AB|

，

，其中．

令，λ∈[1，+∞）．

∵恒成立，∴g（λ）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，

∴g（λ）≥g（1）＝3，即，，

．

故|AB|的最大值為2，當(dāng)且僅當(dāng)λ＝1，即k＝0時(shí)取等號(hào)．