Question

（2011•邢臺一模）已知有下列四個命題：
①函數f（x）=2^x-x²在（-∞，0）是增函數；
②若f（x）在R上恒有f（x+2）•f（x）=1，則4為f（x）的一個周期；
③函數y=2cosx²+sin2x的最小值為

2

+1；
④對任意實數a、b、x、y，都有ax+by≤

a2+b2

•

x2+y2

；
則以上命題正確的是

①②④

．

Answer 1

分析：①求導，判斷導函數的符號，從而確定命題的正確與否；
②以x+2代f（x+2）•f（x）=1中的x，得到f（x+4）=f（x），從而得到結論；
③先利用三角函數的二倍角公式化簡函數，再利用公式 asinx+bcosx=

a2+b2

sin（x+θ）化簡三角函數，利用三角函數的有界性求出最小值．
④利用基本不等式得 b²x²+a²y²≥2abxy，把 b²x²+a²y²≥2abxy 的兩邊同時加上a²x²+b²y²，即可得到（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²成立，從而得出結論．

解答：解：①f′（x）=2^xln2-2x＞0（x＜0），∴函數f（x）=2^x-x²在（-∞，0）是增函數；故該命題正確；
②∵f（x+2）•f（x）=1，∴f（x+4）•f（x+2）=1，∴f（x+4）=f（x），故4為f（x）的一個周期；該命題正確；
③y=2cos²x+sin2x
=1+cos2x+sin2x
=1+

2

（

2

2

cos2x+

2

2

sin2x）
=1+

2

sin（2x+

π

4

）
當 2x+

π

4

=2k π-

π

2

，有最小值1-

2

．故該命題錯；
④∵b²x²+a²y²≥2abxy，∴a²x²+b²y²+b²x²+a²y²≥a²x²+b²y²+2abxy，
即（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²成立，
∴ax+by≤

a2+b2

•

x2+y2

；故該命題錯；
故答案為：①②④．

點評：此題是個基礎題．考查命題的真假判斷與應用，考查函數的周期性的定義，同時考查學生靈活應用知識分析解決問題的能力．