Question

如圖，已知橢圓的方程為，雙曲線的兩條漸近線為、.過橢圓的右焦點作直線，使，又與交于點，設與橢圓的兩個交點由上至下依次為、.

（1）若與的夾角為，且雙曲線的焦距為，求橢圓的方程；
（2）求的最大值.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）先確定雙曲線的漸近線方程，根據條件兩條漸近線的夾角為，確定與的等量關系，再結合的值，確定與的值，最終確定橢圓的方程；（2）設點的坐標為，并設得到，利用向量的坐標運算得到，，再由點在橢圓上這一條件將點的坐標代入橢圓方程，通過化簡得到與離心率之間的關系式，結合基本不等式得到的最大值.
試題解析：（1）因為雙曲線方程為，
所以雙曲線的漸近線方程為．
因為兩漸近線的夾角為且，所以．
所以，所以．
 
因為，所以，
所以，．
所以橢圓的方程為；
（2）因為，所以直線與的方程為，其中.
因為直線的方程為，
聯立直線與的方程解得點.
設，則.
因為點，設點，則有．
解得，.
因為點在橢圓上，
所以．
即．
等式兩邊同除以得，，
所以，
 
所以當，即時，取得最大值．
故的最大值為.