Question

設直線與雙曲線交于A、B，且以AB為直徑的圓過原點，求點的軌跡方程．

Answer 1

2y²－x²＝1(x²<3)．

試題分析：將直線與雙曲線方程聯立，消去y（或x），得到關于x的一元二次方程。由題意知方程有兩根，故二次項系數不為0，且判別式大于0，解出a的范圍，即所求軌跡方程的定義域。根據韋達定理得到兩根之和，兩根之積（整體計算比計算出兩個根要簡單）。根據且以AB為直徑的圓過原點，可得直線AO和直線BO垂直，可利用斜率之積等于列式計算，但這種情況需對斜率存在與否進行討論。為了省去討論的麻煩可用向量問題來解決。詳見解析。
試題解析： 解：聯立直線與雙曲線方程得，消去y得：(a²－3)x²＋2abx＋b²＋1＝0.
∵直線與雙曲線交于A、B兩點，∴⇒a²<3.
設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)則x₁＋x₂＝，x₁·x₂＝.
由⊥得x₁x₂＋y₁y₂＝0，又y₁·y₂＝(ax₁＋b)(ax₂＋b)＝a²x₁x₂＋ab(x₁＋x₂)＋b²，
∴有＋a²·－＋b²＝0.
化簡得：a²－2b²＝－1.故P點(a，b)的軌跡方程為2y²－x²＝1(x²<3)．