Question

【題目】已知函數f（x）=sin（ωx-）（其中ω＞0）的圖象上相鄰兩個最高點的距離為π．

（Ⅰ）求函數f（x）的圖象的對稱軸；

（Ⅱ）若函數y=f（x）-m在[0，π]內有兩個零點x1，x2，求m的取值范圍及cos（x1+x2）的值．

Answer 1

【答案】（I）；（II），.

【解析】

（Ⅰ）由題意，圖象上相鄰兩個最高點的距離為，即周期，可得，即可求解對稱軸；

（Ⅱ）函數在，內有兩個零點，，轉化為函數與函數有兩個交點，即可求解的范圍；在，內有兩個零點，是關于對稱軸是對稱的，即可求解的值．

解：（Ⅰ）∵已知函數f（x）=sin（ωx-）（其中ω＞0）的圖象上相鄰兩個最高點的距離為=π，

∴ω=2，

故函數f（x）=sin（2x-）．

令2x-=kπ+，k∈Z

得x=+，k∈Z，

故函數f（x）的圖象的對稱軸方程為x=+，k∈Z．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函數f（x）=sin（2x-）．

∵x∈[0，π]，

∴2x-∈[，]

∴-≤sin（2x-）≤，

要使函數y=f（x）-m在[0，π]內有兩個零點．

∴-＜m＜，且m

即m的取值范圍是（-，）∪（-，）．

函數y=f（x）-m在[0，π]內有兩個零點x1，x2，

可得x1，x2是關于對稱軸是對稱的；

對稱軸方=2x-，k∈Z．

得x=，

在[0，π]內的對稱軸x=或

當m∈（-，1）時，可得x1+x2=，

∴cos（x1+x2）=cos

當m∈（-1，-）時，可得x1+x2=，

∴cos（x1+x2）=cos=．