Question

已知圓C經過點A（2，-1），圓心在直線2x+y=0上，且與直線x+y=1相切，則圓C的標準方程是

 

．

Answer 1

分析：由圓C的圓心經過直線2x+y=0，設出圓心C的坐標為（a，-2a），由點到直線的距離公式表示出圓心C到直線x+y=1的距離d，然后利用兩點間的距離公式表示出AC的長度即為圓的半徑，然后根據直線與圓相切時圓心到直線的距離等于圓的半徑，列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，由a的值可確定出圓心坐標及半徑，然后根據圓心和半徑寫出圓的方程即可．

解答：解：因為圓心C在直線2x+y=0上，可設圓心為C（a，-2a）．
則點C到直線x+y=1的距離d=

|a-2a-1|

2

=

|a+1|

2

．
據題意，d=|AC|，則

|a+1|

2

=

(a-2)2+(-1+2a)2

，
解得a=1．
所以圓心為C（1，-2），半徑r=d=

2

，
則所求圓的方程是（x-1）²+（y+2）²=2．
故答案為：（x-1）²+（y+2）²=2

點評：此題考查學生掌握直線與圓相切時所滿足的條件，靈活運用點到直線的距離公式及兩點間的距離公式化簡求值，是一道中檔題．