Question

已知圓C經過點A（-2，0），B（0，2），且圓心C在直線y=x上，又直線l：y=kx+1與圓C相交于P、Q兩點．
（1）求圓C的方程；
（2）若

OP

.

OQ

=-2，求實數k的值．

Answer 1

分析：（1）圓心在直線y=x上，設圓C（a，a）半徑r，|AC|=|BC|=r，求得a，r，得到圓C的方程．
（2）

OP

.

OQ

=-2可求得∠POQ，進而求出圓心到直l：kx-y+1=0的距離，再去求k．

解答：解：（I）設圓C（a，a）半徑r．因為圓經過A（-2，0），B（0，2）
所以：|AC|=|BC|=r，解得a=0，r=2，
所以C的方程x²+y²=4．
（II）方法一：
因為，

OP

•

OQ

=2×2cos＜

OP

， 

OQ

＞=-2，
所以，COS∠POQ=-

1

2

，∠POQ=120°，
所以圓心到直l：kx-y+1=0的距離d=1，d=

1

k2+1

，所以 k=0．
方法二：P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），因

y=kx+1 x2+y2=4

，代入消元（1+k²）x²+2kx-3=0．
由題意得△=4k²-4（1+k²）（-3）＞0且x1+x2 =

-2k

1+k2

和x1•x2=

-3

1+k2

因為

OP

•

OQ

=x1•x2+y1•y2=-2，
又y₁•y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
所以x1•x2+y1•y2=

-3

1+k2

+

-3k2

1+k2

+

-2k2

1+k2

+1=-2，
化簡得：-5k²-3+3（k²+1）=0，
所以：k²=0即k=0．

點評：本題考查求圓的方程的常用方法，（II）中用向量的數量積，求角，解三角形，點到直線的距離等知識．是中檔題．