Question

【題目】已知函數．

（1）求曲線在原點處的切線方程；

（2）求函數的單調區間及最大值；

（3）證明：．

Answer 1

【答案】（1）（2）的遞增區間為，遞減區間為，函數最大值是（3）詳見解析

【解析】

（1）根據題意，求出函數的導數，由導數的幾何意義可得切線的斜率k＝f'（0）＝0，據此分析可得答案；

（2）根據題意，求出函數的導數，利用導數與函數單調性的關系分析函數的單調區間，據此分析可得函數的最大值；

（3）根據題意，由（2）的結論可得ln（x+1）≤x2+x，分別令x＝1、、，可得ln2，lnln3﹣ln2，lnln4﹣ln3；將這些式子相加即可得的答案．

（1）所求切線的斜率

從而曲線在原點處的切線方程為

（2）

由得；由得

的遞增區間為，遞減區間為，函數最大值是

（3）由（2）可知：僅當時取等號別取得

以上不等式兩邊相加即得所證不等式