Question

【題目】已知（）．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若不等式在時恒成立，求最小正整數，并給出證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）最小正整數等于5.

【解析】試題分析:（1）利用分析法證不等式:兩邊平方,整理轉化,再平方即得已知事實（2）先逐個代入驗證并歸納猜想最小正整數.再利用數學歸納法進行證明: 當時，利用放縮及歸納假設得,即可證明

試題解析：證明：（Ⅰ）要證：

即證：

只需證：

即證：

只需證：

只需證：

上式顯然成立

不等式成立.

（Ⅱ）即

當時，左邊=，右邊=，不等式不成立；

當時，左邊=，右邊=，不等式不成立；

當時，左邊=，右邊=，不等式不成立；

當時，左邊=，右邊=，不等式不成立；

當時，左邊=，右邊=，不等式成立；

當時，左邊=，右邊=，不等式成立；

故猜想最小正整數.

下面證明時成立：

證法一：（數學歸納法）

①當時，左邊=，右邊=，不等式成立

②假設當時，不等式成立，即,

則當時，

當時，顯然

故

即時不等式成立

綜上，不等式在時恒成立，且最小正整數等于5.

證法二：當時，

由

得

即

所以，不等式在時恒成立，且最小正整數等于5.